2026年5月，著名数学期刊《Inventiones Mathematicae》发表了一篇由中国研究团队撰写的论文。该团队成员包括清华大学与中国科学技术大学的双聘教授马杰，以及来自清华大学和中国科学技术大学的博士生申武杰和谢晟捷。
这篇论文在概率组合学领域取得了突破性进展，首次实现了对1947年由Erdős提出的概率方法的指数级改进。Erdős的这一方法是概率组合学的基础，近80年来，其局限性一直未能被根本性地超越。
一枚硬币的80年难题
Erdős最初提出的概率方法，是通过向完全图的每条边抛掷硬币来着色。例如，在一个足够大的社交网络中，必然存在一个群体，其成员要么全部相互认识，要么全部互不认识。Erdős利用抛硬币的方法证明了“足够大”的规模至少是指数级的。
尽管近年来该方法的上界不断被优化，例如在2023年，上界从约4大幅提升至3.7992，但其下界基数在近80年间几乎未发生变化。直到马杰团队提出了一个与球面相关的新颖想法。
硬币方法的局限性
抛硬币着色的方法虽然简单易于分析，但其特点是每条边的颜色分配完全独立且各占一半。这种方法未能利用几何结构来限制单色团的形成，从而造成了信息损失。
申武杰提出了“随机球图”模型，为随机性引入了几何概念。该模型将n个节点随机放置在高维球面上，并根据两点间的距离远近来为边着色（距离远则为红色，距离近则为蓝色）。高维球面的一个关键特性是，当维度足够高时，几乎所有点都聚集在赤道附近，随机选择的两条径向线夹角接近90度。这导致点对间的距离集中在一个非常狭窄的区间内。因此，着色不再是完全随机的，而是受到球面几何对称性的精确调控，这种结构能够有效地抑制大片单色团的出现。
然而，该模型也存在一个取舍：它降低了出现红色团的概率，因为在有限的球面空间内，要形成大片红色团需要大量节点彼此远离，这种情况较难发生。但相应地，蓝色团的概率反而会上升。
研究团队在小规模图上进行了验证，发现在数以万计的着色方案中，无团着色的概率依然大于零，这意味着球面模型带来的收益超过了其代价。关键的证明部分则依赖于高维球面独特的几何性质。
以近对角线Ramsey数r(k, 2k)为例，当两个参数一个等于另一个的两倍时，Erdős的硬币方法给出的下界基数是黄金比例(1+√5)/2≈1.618。马杰、申武杰和谢晟捷将这一基数提升到了(1+√5)/2 + 10⁻²¹。虽然改进量仅为约10⁻²¹（小数点后20个零后跟1），但其重要性在于指数增长。当k趋向无穷时，即使基数增加一个微小的数值，新下界也会远超旧下界。
近80年来，这一基数从未被撼动。该团队不仅微小地提升了数字，更重要的是证明了Erdős的硬币方法并非最优着色方案。随机球图在结构上优于纯粹的随机着色，表明概率方法的天花板远未达到。这是自Erdős以来该领域首次实现指数级改进，并首次提供了一条超越硬币方法的路径。不过，该方法仅在蓝色团大于红色团时有效，在两种颜色的禁忌团大小相等（Erdős最初关注的对角线情形）时，新方法的优势会消失。
数学界的反响
该论文于2025年7月上传至arXiv后，不到一周，组合数学领域的知名学者Gil Kalai便在博客上发表长文，称赞该模型“具有相当的独立研究价值”。剑桥大学的Julian Sahasrabudhe表示，这项技术一直“藏在眼皮底下”，并对一个熟悉的方法能解决一个熟悉的问题感到惊讶。
2025年12月，马杰在UCLA的合作导师Benny Sudakov及其学生证明，即使不使用球面模型，而是采用高斯随机图，同样能取得类似效果。这一简化使得更多研究者能够参与到该方法的推广中。2026年初，该方法被进一步推广到了多色Ramsey数问题。最终，该研究成果于2026年5月正式发表于《Inventiones Mathematicae》。
清华00后博士生的洞察
马杰，现任清华大学丘成桐数学科学中心教授及中国科学技术大学教授。他于2007年本科毕业于中国科学技术大学，2011年在佐治亚理工学院获得博士学位，师从Xingxing Yu。之后，他在加州大学洛杉矶分校担任Hedrick助理教授，师从Benny Sudakov，随后在卡内基梅隆大学进行博士后研究。2015年，他回到中国科学技术大学任教，并于2024年同时加入清华大学丘成桐数学科学中心和北京雁栖湖应用数学研究院。他曾获得国家优青（2017年）和国家杰青（2022年）称号，并担任SIDMA期刊编委。2020年，他荣获ICA的Hall Medal，该奖项每年最多授予两名40岁以下的杰出组合数学家。
谢晟捷，高中时期曾获得数学联赛广东赛区一等奖，并于高二通过“少年班”项目提前进入中国科学技术大学。本科期间，他获得了丘成桐中学数学奖团体铜牌。2023年，他选择留校直博，师从马杰。在论文发表时，他是一名在读博士三年级学生。
申武杰，出生于2000年，目前是清华大学丘成桐数学科学中心博士生，导师为丘成桐。在论文发表时，他是一名博士四年级学生。他高中时期曾获得中国数学奥林匹克三等奖，并于2018年考入北京大学数学学院。本科期间，他获得了全国大学生数学竞赛一等奖、阿里巴巴数学竞赛银奖以及ICCM创意本科论文奖。2022年，他进入清华大学攻读博士学位。在博士学习的最初几个学期，申武杰主要研究几何与拓扑，与Ramsey理论并无直接联系。2024年春季，他偶然阅读了一篇关于Ramsey数的论文，对其产生了浓厚兴趣，并开始思考是否存在一种比Erdős抛硬币方法更有效的随机模型来生成无团着色。2024年秋季，当马杰到清华大学进行访问授课时，申武杰将这一想法与他分享，马杰的学生谢晟捷也加入了研究。三人花费一年时间，完成了长达40页的密集计算，最终完成了证明。马杰曾表示，他们很幸运，觉得所有努力都得到了回报，但过程确实非常艰难。
AI解题与人类创造力
在马杰团队论文发表的同月，DeepMind公布了AlphaProof Nexus的成果，该项目在353个Erdős开放问题中解决了9个，并证明了44个OEIS猜想，所有结果均通过Lean形式化验证。其中，有两道题已经悬置了56年。AI通过agentic loop反复搜索证明路径，直至形式验证器认可。然而，这种方法本质上是在已知框架内进行搜索。
对此，陶哲轩曾评论道，AI是称职的助手，但并非同行，它擅长在已知方法中进行匹配搜索，却不擅长提出原创性想法。马杰团队的研究恰恰属于后者。他们没有去解答Erdős提出的某个具体问题，而是对Erdős发明的概率方法本身进行了升级。AI从Erdős的遗产中拆除了9堵墙，而这三位中国学者则重铸了他最引以为傲的工具。在需要创造性洞察力的数学前沿领域，人类的创造力目前仍然不可替代。
结语
1947年，Erdős通过一枚硬币开创了概率组合学。近80年后，一位中国00后博士生提出了一个简单的想法：“尝试将节点置于球面上。”
参考资料： https://www.quantamagazine.org/after-80-years-mathematicians-give-famed-erdos-method-an-upgrade-20260626/ 本文来自微信公众号“新智元”，作者：ASI启示录，编辑：摩西，36氪经授权发布。